Главная › Лекции › Дмитрий Трушин (ВШЭ) — Линейная алгебра и геометрия

Многочлены от матриц и спектр

Лекция объясняет, как подставлять матрицы в многочлены, и связывает зануляющие многочлены с обратимостью матриц и спектром.

ФКН ВШЭ — дистанционные занятия⏱ 63 минОткрыть на YouTube ↗

Пройти весь тест — 9 вопросов →

Бесплатно, нужен вход через Google. Готовый тест не тратит часовой лимит.

О чём лекция

Сначала вводится многочлен как формальная запись с коэффициентами и правила его сложения и умножения. Затем матрицу квадратного размера подставляют вместо переменной, считая нулевую степень матрицы единичной. Подстановка сохраняет сложение и умножение многочленов; многочлен от скалярной матрицы совпадает со значением многочлена на скаляре, умноженным на единичную матрицу. Также подстановка согласуется с сопряжением. Матрицы, полученные как многочлены от одной матрицы, коммутируют между собой.

Для любой квадратной матрицы существует ненулевой многочлен, который её зануляет; лекция доказывает это сведением задачи к однородной системе с большим числом неизвестных, чем уравнений. Если число не является корнем зануляющего многочлена, то разность матрицы и соответствующей скалярной матрицы обратима. Это позволяет определить спектр как множество чисел, при которых такая разность необратима. Например, спектр диагональной матрицы состоит из её диагональных элементов, а вещественный спектр может быть пустым.

В завершение вводится минимальный многочлен матрицы — нормированный многочлен наименьшей степени, который её зануляет. Он существует и единственен, делит любой другой зануляющий многочлен, а его корни совпадают со спектром матрицы над рассматриваемым полем. Поэтому зануляющий многочлен даёт верхнюю оценку на спектр, а минимальный описывает его точно.

Ключевые идеи

Лекция посвящена подстановке матриц в многочлены и матричным нормам.
Многочлен рассматривается как формальная запись с коэффициентами, а не как функция.
Квадратную матрицу можно подставить вместо переменной многочлена, принимая её нулевую степень за единичную матрицу.
Подстановка матрицы сохраняет сложение и умножение многочленов и согласуется со скалярной подстановкой и сопряжением.
Для любой квадратной матрицы существует ненулевой зануляющий многочлен, а его корни ограничивают спектр матрицы.
Спектр матрицы — множество чисел, для которых разность матрицы и соответствующей скалярной матрицы необратима.
Спектр диагональной матрицы состоит из её диагональных элементов; вещественный спектр другой матрицы может быть пустым.
Минимальный многочлен — единственный нормированный зануляющий многочлен наименьшей степени, и его корни совпадают со спектром.

Примеры вопросов

В многочленном исчислении запись \(p(x)=a_0+a_1x+\dots+a_nx^n\) рассматривается прежде всего как формальное выражение. Какое описание этой записи корректно?

AЛюбая запись с переменной автоматически задаёт функцию, независимо от того, из какого множества берутся коэффициенты
B\(x\) — имя формальной переменной, а \(a_0,\dots,a_n\) — коэффициенты из заранее заданного множества; сама запись не является функцией до отдельной подстановки значения \(x\)
C\(a_0,\dots,a_n\) — значения функции, а символ \(x\) не имеет самостоятельного смысла в записи
D\(x\) — фиксированное число, а коэффициенты определяются как значения функции в точке \(x\)

Показать ответ

Верный ответ: B. Формальный многочлен задаётся набором коэффициентов и символом переменной. Функция появляется лишь при интерпретации переменной как аргумента и выполнении подстановки.

Для квадратной матрицы A и двух многочленов p(x) и q(x) сначала образовали их сумму p(x)+q(x), а затем подставили в неё A. Как следует выполнять вычисление, чтобы получить ту же матрицу?

AСложить матрицы p(A) и q(A).
BПеремножить матрицы p(A) и q(A).
CСначала сложить A с самой собой, а затем подставить результат в оба многочлена.
DПодставить A только в многочлен с большей степенью.

Показать ответ

Верный ответ: A. При подстановке матрицы в сумму многочленов результат складывается из матриц, полученных подстановкой в каждое слагаемое.

Пройти весь тест — 9 вопросов →

Свой тест по любой лекции

Вставьте ссылку на видео — LearnReplay сделает тест на понимание.

Создать тест →