Лекция посвящена спектру и минимальному многочлену матрицы, а также матричным нормам и их роли в определении сходимости.
Бесплатно, нужен вход через Google. Готовый тест не тратит часовой лимит.
Сначала рассматриваются многочлены, зануляющие матрицу, и связь деления многочленов с обратимостью матриц. Вводится спектр матрицы как множество чисел λ, для которых матрица A − λE необратима. Показывается, что спектр конечен и содержится среди корней любого многочлена, зануляющего A. На примерах диагональной матрицы и матрицы, удовлетворяющей соотношению A² + E = 0, объясняется, почему вещественный спектр может быть пустым.
Затем определяется минимальный многочлен — единственный приведённый многочлен наименьшей степени, зануляющий матрицу. Доказывается, что любой другой зануляющий многочлен делится на минимальный, а спектр в точности совпадает с множеством его корней. Обсуждается алгоритм поиска минимального многочлена через однородную систему линейных уравнений, полученную подстановкой матрицы в многочлен.
В заключительной части объясняется, как подставлять матрицы в рациональные функции, если знаменатель после подстановки обратим. Вводятся матричные нормы, их основные свойства и субмультипликативность. Рассматриваются нормы векторов, индуцированная норма матрицы как максимальный коэффициент растяжения, а также связь нормы с расстоянием между матрицами и определением сходимости. Отмечается, что разные матричные нормы задают один и тот же вид сходимости.
Верный ответ: C. Если Av=λv для ненулевого вектора v, то из p(A)=0 следует p(A)v=p(λ)v=0. Поэтому p(λ)=0, и любое собственное значение является корнем p.
Верный ответ: B. Минимальный многочлен должен обращаться в нулевую матрицу при подстановке A, иметь наименьшую возможную степень среди таких ненулевых многочленов и быть нормированным.
Вставьте ссылку на видео — LearnReplay сделает тест на понимание.
Создать тест →