Главная › Лекции › 3Blue1Brown — Сущность линейной алгебры

Быстрый способ найти собственные значения матрицы 2×2

Лекция выводит формулу для собственных значений матрицы 2×2 через след и определитель и показывает её на примерах.

Бесплатно, нужен вход через Google. Готовый тест не тратит часовой лимит.

О чём лекция

Обычно собственные значения матрицы находят, составляя характеристический многочлен и решая квадратное уравнение. Для матрицы 2×2 можно обойтись короче: след равен сумме собственных значений, а определитель — их произведению. Поэтому среднее двух значений m равно половине следа, а их произведение p равно определителю. Если значения расположены на одинаковом расстоянии d от среднего, они имеют вид m ± d. Из произведения следует, что d² = m² − p, и потому собственные значения равны m ± √(m² − p).

Лектор применяет формулу к нескольким матрицам: например, для матрицы со следом 4 и определителем −1 получаются значения 2 ± √5, а для матрицы со средним диагональных элементов 5 и определителем 9 — 9 и 1. На матрицах Паули формула также даёт +1 и −1. Хотя для отдельных матриц Паули традиционный способ не сложнее, формула особенно удобна для их линейной комбинации: след и определитель помогают быстро восстановить собственные значения, не выписывая характеристический многочлен. Этот приём связан с решением квадратных уравнений через среднее и произведение корней.

Ключевые идеи

Собственный вектор не меняет направление при преобразовании, а соответствующее собственное значение задаёт масштаб изменения.
Собственные значения матрицы находятся из условия, что определитель матрицы A − λI равен нулю.
Для матрицы 2×2 след равен сумме собственных значений, а определитель — их произведению.
Если два числа имеют среднее m и произведение p, их можно записать как m ± √(m² − p).
Для матрицы с диагональными элементами 3 и 1 и определителем −1 формула даёт собственные значения 2 ± √5.
У трёх матриц Паули собственные значения равны +1 и −1.
Формула особенно полезна для линейной комбинации матриц Паули, когда характеристический многочлен труднее вычислить в уме.
Приём с полусуммой и произведением — смысловая альтернатива обычному решению квадратного уравнения по формуле.

Примеры вопросов

Для матрицы 2×2 характеристический многочлен определён как p(λ)=det(A−λI). Как с его помощью находят собственные значения матрицы?

AСкладывают коэффициенты p(λ) и принимают результат за собственное значение
BНаходят значения λ, при которых p(λ)=0
CНаходят значение p(λ) при λ=0 и считают его собственным значением
DИщут значения λ, при которых p(λ)=1

Показать ответ

Верный ответ: B. Собственное значение делает матрицу A−λI вырожденной, поэтому определитель равен нулю; искомые значения являются корнями характеристического многочлена.

Для матрицы 2×2 \(A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\) собственные значения обозначены \(\lambda_1\) и \(\lambda_2\). Какое равенство связывает среднее арифметическое собственных значений со следом матрицы?

A\(\frac{\lambda_1+\lambda_2}{2}=\frac{b+c}{2}\)
B\(\frac{\lambda_1+\lambda_2}{2}=\frac{ad-bc}{2}\)
C\(\frac{\lambda_1+\lambda_2}{2}=\frac{a+d}{2}\)
D\(\frac{\lambda_1+\lambda_2}{2}=a+d\)

Показать ответ

Верный ответ: C. След матрицы равен сумме её диагональных элементов, а также сумме собственных значений. Поэтому после деления обеих сумм на два получаются равные средние.

Пройти весь тест — 6 вопросов →

Свой тест по любой лекции

Вставьте ссылку на видео — LearnReplay сделает тест на понимание.

Создать тест →