Главная › Лекции › 3Blue1Brown — Сущность линейной алгебры

Собственные векторы и собственные значения

Лекция объясняет геометрический смысл собственных векторов и значений, их вычисление и применение для упрощения матричных операций.

3Blue1Brown⏱ 17 минОткрыть на YouTube ↗

Пройти весь тест — 6 вопросов →

Бесплатно, нужен вход через Google. Готовый тест не тратит часовой лимит.

О чём лекция

Матрица задаёт линейное преобразование, которое обычно меняет направление вектора. Собственный вектор — особый вектор, остающийся на своей прямой: преобразование лишь растягивает или сжимает его, а иногда меняет направление. Коэффициент такого изменения называется собственным значением. Например, ось вращения в трёхмерном пространстве является собственным направлением, а соответствующее значение равно единице.

Чтобы найти собственные значения матрицы A, рассматривают уравнение Av = λv и переписывают его как (A − λI)v = 0. Ненулевое решение существует, когда определитель A − λI равен нулю; корни этого уравнения дают возможные собственные значения. Подстановка каждого значения позволяет найти соответствующие собственные векторы. Некоторые преобразования, например поворот на 90 градусов в плоскости, не имеют вещественных собственных векторов, а при сдвиге-срезе собственными являются только векторы на оси x.

Если собственные векторы образуют базис пространства, переход к этому базису приводит матрицу преобразования к диагональному виду: на диагонали стоят собственные значения. Это упрощает вычисления, например возведение матрицы в большую степень. Такой базис называется собственным; он существует не для каждого преобразования.

Ключевые идеи

Собственные векторы сохраняют своё направление при преобразовании, а собственные значения показывают, во сколько раз они растягиваются или сжимаются.
Собственный вектор трёхмерного вращения задаёт его ось, а собственное значение равно единице.
Определяющее уравнение для собственного вектора и значения имеет вид Av = λv.
Собственные значения находят из условия det(A − λI) = 0, а затем для каждого значения решают уравнение на собственные векторы.
Не всякое преобразование имеет вещественные собственные векторы: поворот на 90 градусов в плоскости не оставляет ни одного направления неизменным.
Если собственные векторы образуют базис, матрица в этом базисе диагональна, что упрощает вычисления её степеней.
Переход к собственному базису возможен, когда собственных векторов достаточно, чтобы они охватывали всё пространство.

Примеры вопросов

Для ненулевого вектора v матрица A задаёт преобразование, при котором Av лежит на той же прямой, что и v. Как интерпретировать такое поведение вектора?

Av является собственным вектором только тогда, когда Av совпадает с v
Bv является собственным вектором A: преобразование умножает его на некоторое число, не переводя на другую прямую
Cv обязательно остаётся той же длины после преобразования
DA переводит v в вектор, перпендикулярный исходному

Показать ответ

Верный ответ: B. Если образ ненулевого вектора лежит на его собственной прямой, он является скалярным кратным исходного вектора — это и есть определяющее свойство собственного вектора.

Пусть линейное преобразование матрицей A имеет собственный вектор v с собственным значением −1/2, то есть Av = −(1/2)v. Как изменится этот вектор после преобразования?

AОн развернётся в противоположную сторону и станет вдвое короче.
BОн сохранит направление и станет вдвое короче.
CОн развернётся в противоположную сторону и станет вдвое длиннее.
DОн повернётся на 90° и станет вдвое короче.

Показать ответ

Верный ответ: A. Умножение на отрицательный коэффициент меняет направление вектора на противоположное, а модуль коэффициента 1/2 уменьшает его длину вдвое.

Пройти весь тест — 6 вопросов →

Свой тест по любой лекции

Вставьте ссылку на видео — LearnReplay сделает тест на понимание.

Создать тест →