Лекция объясняет, как описывать линейные преобразования в пространстве с помощью базисных векторов и матриц 3×3.
Бесплатно, нужен вход через Google. Готовый тест не тратит часовой лимит.
В двух измерениях линейное преобразование можно представить движением плоскости, которое сохраняет параллельность и равномерность сетки и оставляет начало координат на месте. Тот же подход применим к трёхмерному пространству: точки можно рассматривать как концы векторов, перемещаемых преобразованием. Чтобы описать его, достаточно проследить за тремя базисными векторами — i, j и k. Координаты, в которые переходит каждый из них, записывают в отдельный столбец матрицы 3×3. Так преобразование полностью задаётся девятью числами.
В качестве примера рассматривается поворот пространства на 90 градусов вокруг оси y: векторы i и k переходят в направления, заданные поворотом, а j остаётся на месте. Чтобы найти образ вектора с координатами x, y, z, его представляют как сумму базисных векторов, умноженных на соответствующие координаты. После преобразования это равносильно умножению координат на столбцы матрицы и сложению полученных результатов. Произведение двух матриц соответствует последовательному применению преобразований: сначала выполняют преобразование правой матрицы, затем левой. Такой способ важен, например, в компьютерной графике и робототехнике, где сложные повороты удобно разбирать на последовательность более простых.
Верный ответ: B. Линейное преобразование сохраняет структуру сетки: линии не изгибаются и не перестают быть параллельными, а начало координат остаётся неподвижным.
Верный ответ: B. Любой вектор в трёхмерном пространстве выражается через базисные векторы, а линейность определяет его образ по образам этих векторов. Поэтому совпадение образов базиса влечёт совпадение преобразований.
Вставьте ссылку на видео — LearnReplay сделает тест на понимание.
Создать тест →