Главная › Лекции › 3Blue1Brown — Сущность линейной алгебры

Умножение матриц как композиция преобразований

Лекция объясняет геометрический смысл произведения матриц и показывает, почему порядок множителей важен, а расстановка скобок — нет.

3Blue1Brown⏱ 10 минОткрыть на YouTube ↗

Пройти весь тест — 6 вопросов →

Бесплатно, нужен вход через Google. Готовый тест не тратит часовой лимит.

О чём лекция

Лекция напоминает, как матрица задаёт линейное преобразование: её столбцы показывают, куда переходят базисные векторы, а умножение матрицы на вектор вычисляет результат преобразования. Если выполнить одно преобразование, а затем другое, получится их композиция — тоже линейное преобразование, которому соответствует отдельная матрица. Её столбцы можно найти, проследив путь каждого базисного вектора через оба преобразования.

Произведение матриц описывает именно такую последовательность действий: сначала применяется преобразование матрицы справа, затем — матрицы слева. Чтобы вычислить столбцы произведения, нужно умножить левую матрицу на соответствующие столбцы правой. На примере сдвига и поворота показано, что перестановка преобразований обычно меняет результат, поэтому матричное умножение некоммутативно. Напротив, ассоциативность объясняется тем, что при любой расстановке скобок три преобразования выполняются в одном и том же порядке.

Ключевые идеи

Линейное преобразование полностью определяется тем, куда оно переводит базисные векторы.
Последовательное применение двух линейных преобразований образует композицию, которой соответствует отдельная матрица.
Произведение матриц позволяет заменить два последовательных преобразования одним.
В произведении сначала выполняется преобразование правой матрицы, затем — левой.
Каждый столбец произведения получается умножением левой матрицы на соответствующий столбец правой.
Порядок матриц имеет значение, потому что перестановка преобразований обычно меняет общий результат.
Ассоциативность матричного умножения следует из того, что расстановка скобок не меняет порядок применения преобразований.

Примеры вопросов

Для линейного преобразования плоскости матрица записана в стандартном базисе. Первый базисный вектор переходит в (2, −1), а второй — в (3, 4). Какой матрицей задаётся это преобразование?

A[[−1, 4], [2, 3]]
B[[2, −1], [3, 4]]
C[[2, 3], [−1, 4]]
D[[3, 2], [4, −1]]

Показать ответ

Верный ответ: C. Каждый столбец матрицы содержит координаты образа соответствующего базисного вектора: сначала первого, затем второго.

Если сначала применить одно линейное преобразование плоскости, а затем другое, каким объектом можно описать итоговое преобразование целиком?

AТолько парой преобразований, поскольку их результат не является линейным
BОтдельным линейным преобразованием, которое также задаётся матрицей
CПреобразованием, которое всегда совпадает с одним из исходных
DСдвигом, даже если оба исходных преобразования сдвигами не были

Показать ответ

Верный ответ: B. Последовательное применение линейных преобразований само образует линейное преобразование, поэтому его можно представить отдельной матрицей.

Пройти весь тест — 6 вопросов →

Свой тест по любой лекции

Вставьте ссылку на видео — LearnReplay сделает тест на понимание.

Создать тест →